幾何概論4

Ⅱ　古典幾何の空間


1. 群作用を持つ集合

・　群Gの空でない集合Xへの作用 action とは、群準同型写像φ:G→SXのことを言う。ここで、SXはXの一般変換群である。このときGをXの変換群 transformation group という。φ(g)(x)を単にgxと書く。

・　Xの一般変換群SXは恒等写像id:SX→SXによりXに作用する。


・　K-ベクトル空間Vの一般一次変換群GL(V)は包含写像ι:GL(V)→SVにより、Vに作用する。

・　n次元数ベクトル空間Knの正則一次変換をKnの標準基底に対し表現した正則行列と同一視することにより、一般線型群GL(n,K)はKnに作用する。そこで、GL(n,K)の部分群、例えば直交群O(n)もまた、Knへの作用を持つ。

・　群GのG自身への作用として、fixされたg∈Gによる左移動、g-1による右移動、gによる内部自己同型がある。

・　群Gの必ずしも正規でない部分群Hに対し、Gの左剰余集合G/Hへの作用がある。


・　群Gが集合Xに対して作用φ:G→SXしているとする。以下、極力φは明示しないようにする。

・　x∈Xに対し、Xの部分集合{gx | g∈G}を、この作用によるxの軌道 orbit といい、Orb(G,x)で表す。


・　x∈Xに対し、Gの部分集合{g∈G | gx=x}はGの部分群であり、この作用によるxの固定化群 stabilizer または等方群 isotropy group といい、Stab(G,x)と書く。


・　Orb(G,x)が{x}である、つまりGの全ての元はxを動かさないようなx∈Xを、この作用による不動点 fixed point という。

・　任意のx∈Xに対しStab(G,x)が単位群となるとき、この作用は自由 free であるという。これは、「Gの異なる2元は、Xの全ての点を異なる2点に移す」(詳しく書けば、「g≠hならばgx≠hxが任意の点xに対して成立」)、という条件と同等である。


・　φが単射であるとき、この作用は効果的 effective または忠実 faithful であるという。これは、「Gの異なる2元は、Xに対し異なる2つの変化をもたらす」(詳しく書けば、「g≠hならばgx≠hxなるx∈Xが存在する」)と言いかえてもよい。

・　自由な作用は効果的である。


・　作用が効果的ならば、GはSXのある部分群に同型である。


・　Gにおける関係 ~ を、g~h :⇔ gとhはXに同じように作用する(つまりφ(g)=φ(h)) と定めると、これはG上の同値関係であり、G/~は群構造を持つ。G/~はXに効果的に作用する。　

・　任意のx∈Xに対しOrb(G,x)=Xであるとき、この作用は推移的 transitive であるという。これは、「任意の2点x,y∈Xに対し、gx=yなるg∈Gが存在する」と言いかえてもよい。


・　自由かつ推移的な作用を単純推移的 simply transitive または正則 regular であるという。つまり、任意のxについてStab(G,x)={e}かつOrb(G,x)=Xである。また、「任意の2点x,y∈Xに対し、gx=yなるg∈Gがただ一つ存在する」ということ。


・　Gの2つの集合X,Yへの作用φ,ψが同値 equivalent であるとは、X,Yの間の全単射θであって、任意のg∈Gに対し、θ・φ(g)=ψ(g)・θが成り立つものが存在することをいう。

・　群GがXに推移的に作用するとき、XはGの作用の下で等質集合 homogeneous set という。Gの作用の下の2つの等質集合が同型とは、2つの作用が同値であることをいう。


・　Xが群Gの下で等質集合であるとき、Xの1点xにおける固定化群によるGの左剰余集合G/Stab(G,x)もGの等質集合で、XとG/Stab(G,x)は同型。